Brauer groups in some braided monoidal catégories.

Abstract

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés aux groupes de Brauer de certaines catégories monoïdales tressées et à établir des liens entre eux. Ainsi, après avoir énoncé les généralités sur les algèbres de Hopf et sur les notions de catégories dans le chapitre 1 de ce manuscrit, nous avons défini dans le chapitre 2, la notion de groupe de Brauer-Clifford pour la catégorie des (S,H)-dimodules dyslectiques, où H est une algèbre de Hopf commutative et cocommuta tive et S une algèbre de H-dimodule H-commutative sur un anneau commutatif R. Ce groupe de Brauer est un exemple de groupe de Brauer dans une catégorie monoïdale tressée. Nous avons également montré que ce groupe de Brauer est anti-isomorphe au groupe de Brauer de la catégorie des (S op ,H)-modules de Hopf-Yetter-Drinfel’d dyslectiques defini par Guédénon et Herman (cf. [32]). Pour une algèbre de Hopf H commutative, cocommutative, projective de type fini comme un R-module, Tilborghs dans [58], a établi un anti-isomorphisme de groupes entre le groupe de Brauer BD(R,H) des H-dimodules et le groupe de Brauer BD(R,H∗ ) des H∗ -dimodules, où H∗ est le dual linéaire de H. Nous avons généralisé dans le chapitre 3 ce ré sultat en établissant un anti-isomorphisme de groupes entre BD(S,H), le groupe de Brauer des algèbres de (S,H)-dimodules dyslectiques et BD(S op ,H∗ ), le groupe de Brauer des al gèbres (S op ,H∗ )-dimodules dyslectiques, où S est une algèbre de H-dimodule H-commutative et S op est l’algèbre opposée de S. Le chapitre 4 est consacré à la généralisation de la suite de Rosenberg-Zelinsky aux algèbres d’Azumaya des (S,H)-modules de Hopf-Yetter-Drinfel’d dyslectiques dont les termes sont le groupe des automorphismes des S-algèbres H-inner (H INNER) d’une algèbre A ∈ D ys-SQH et le groupe des classes d’isomorphismes des S-modules inversibles ((S,H)-modules de Hopf-Yetter-Drinfeld dyslectiques inversibles) sous le produit tensoriel ⊗˜ S noté P ic(S) (PQH(S,H)). Lorsque H est une algèbre de Hopf commutative cocommutative, nous avons aussi établi la suite exacte de Rosenberg-Zelinsky des algèbres d’Azumaya des (S,H)-dimodules dyslectiques.