Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.

Abstract

Le but de ce travail est d’expliquer, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer qui établit un lien profond entre l’arithmétique d’une courbe elliptique et l’analyse de sa fonction L associée. Plus précisément, elle relie le nombre de points rationnels d’une courbe elliptique E (appelé rang du groupe E(Q)) à l’ordre d’annulation de sa fonction L(E,s) au point critique s = 1. La conjecture stipule que : rang

E(Q)

= ords=1 L(E,s). Autrement dit, le rang de la courbe elliptique sur le corps des nombres rationnels est égal à l’ordre d’annulation en 1 de sa fonction L associée. Bien que démontrée dans certains cas particuliers, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer demeure l’un des problèmes les plus profonds et difficiles en mathématiques contemporaines. Elle fait partie des sept problèmes du millénaire identifiés par le Clay Mathematics Institute.