| dc.description.abstract | Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution d’un problème d’analyse géométrique des formes sous la contrainte d’un problème aux limites parabolique non linéaire. L’objectif est d’identifier un domaine dont une partie du bord est connue, et dans lequel une EDP
parabolique non linéaire est vérifiée. Pour ce faire, nous passons par la méthode d’optimisation
de formes géométriques pour répondre à la question principale posée sur l’identification du
domaine. Le problème d’identification de domaine provient de l’observation de données, il est
aussi appelé problème inverse. Un problème inverse est une situation dans laquelle les valeurs
de certains paramètres (ou inconnues) d’un modèle doivent être identifiées à partir d’observations (ou mesures) d’un phénomène. Nous allons étudier un problème inverse qui consiste à
déterminer la partie inconnue du bord d’un domaine à partir des mesures sur la partie de la
frontière connue. Nous allons nous focaliser sur le cas où les mesures de frontières sont une
donnée de Cauchy de la solution de l’équation aux dérivées partielles non-linéaires parabolique
ou elliptique. Et la partie inconnue de la frontière du domaine est inaccessible. De plus, soit Ω
un domaine borné de R
N où ∂Ω est une frontière régulière avec ∂Ω = Γ0 ∪ Γ, Γ0 ∩ Γ = ; où Γ0
est la partie accessible, régulière (de classe C
2
). Notre objectif est de reconstruire Γ à partir de
la donnée de Cauchy.
Nous introduisons les outils de base d’analyse fonctionnelle et des méthodes topologiques pour
analyser la solvabilité du problème aux limites parabolique. Ensuite, nous montrons l’existence de solution du problème d’optimisation de formes géométriques sous la propriété de cône
uniforme et l’existence de solution du problème d’optimisation de formes géométriques sous
la contrainte de la γ-convergence avec l’argument de la monotonie de la fonctionnelle puis
avec l’argument de la compacité de l’ensemble admissible. Nous faisons une identification de
domaine en utilisant les conditions d’optimalité du premier ordre avec la méthode de perturbation de domaine par des champs de vecteurs, combinées aux principes de comparaison. Aussi
nous développons le calcul de la dérivée de forme et de la dérivée topologique en utilisant la
méthode du minimax et du lagrangien. Nous terminons cette thèse par une analyse et une simulation numérique dont le but est d’identifier numériquement un domaine. Cette étude suit
trois méthodes, et reprend les idées déjà étudiées de manière théorique dans Ndiaye et al (Bull
Math Anal Appl 4(1) :91–103, 2012) tout en proposant les algorithmes numériques.
La première consiste à faire une translation du bord inaccessible et la seconde utilise la déformation du bord inaccessible. La troisième suit une approche d’optimisation de formes géométriques en passant par la méthode du lagrangien augmenté pour faire des simulations numériques. | en_US |
