Contribution sur des problèmes d’identification de configurations géométriques sous contraintes d’équations aux dérivées partielles.

Abstract

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution d’un problème d’analyse géométrique des formes sous la contrainte d’un problème aux limites parabolique non linéaire. L’objectif est d’identifier un domaine dont une partie du bord est connue, et dans lequel une EDP parabolique non linéaire est vérifiée. Pour ce faire, nous passons par la méthode d’optimisation de formes géométriques pour répondre à la question principale posée sur l’identification du domaine. Le problème d’identification de domaine provient de l’observation de données, il est aussi appelé problème inverse. Un problème inverse est une situation dans laquelle les valeurs de certains paramètres (ou inconnues) d’un modèle doivent être identifiées à partir d’observations (ou mesures) d’un phénomène. Nous allons étudier un problème inverse qui consiste à déterminer la partie inconnue du bord d’un domaine à partir des mesures sur la partie de la frontière connue. Nous allons nous focaliser sur le cas où les mesures de frontières sont une donnée de Cauchy de la solution de l’équation aux dérivées partielles non-linéaires parabolique ou elliptique. Et la partie inconnue de la frontière du domaine est inaccessible. De plus, soit Ω un domaine borné de R N où ∂Ω est une frontière régulière avec ∂Ω = Γ0 ∪ Γ, Γ0 ∩ Γ = ; où Γ0 est la partie accessible, régulière (de classe C 2 ). Notre objectif est de reconstruire Γ à partir de la donnée de Cauchy. Nous introduisons les outils de base d’analyse fonctionnelle et des méthodes topologiques pour analyser la solvabilité du problème aux limites parabolique. Ensuite, nous montrons l’existence de solution du problème d’optimisation de formes géométriques sous la propriété de cône uniforme et l’existence de solution du problème d’optimisation de formes géométriques sous la contrainte de la γ-convergence avec l’argument de la monotonie de la fonctionnelle puis avec l’argument de la compacité de l’ensemble admissible. Nous faisons une identification de domaine en utilisant les conditions d’optimalité du premier ordre avec la méthode de perturbation de domaine par des champs de vecteurs, combinées aux principes de comparaison. Aussi nous développons le calcul de la dérivée de forme et de la dérivée topologique en utilisant la méthode du minimax et du lagrangien. Nous terminons cette thèse par une analyse et une simulation numérique dont le but est d’identifier numériquement un domaine. Cette étude suit trois méthodes, et reprend les idées déjà étudiées de manière théorique dans Ndiaye et al (Bull Math Anal Appl 4(1) :91–103, 2012) tout en proposant les algorithmes numériques. La première consiste à faire une translation du bord inaccessible et la seconde utilise la déformation du bord inaccessible. La troisième suit une approche d’optimisation de formes géométriques en passant par la méthode du lagrangien augmenté pour faire des simulations numériques.