| dc.description.abstract | Étant donné une courbe C plane lisse définie sur Q d’équation affine f (x, y) = 0. Nous nous
sommes intéressés dans cette thèse à la détermination des points algébriques de degré donné sur
C. Les résultats obtenus peuvent être vus comme une paramétrisation des points de la courbe
étudiée. Les travaux reposent sur deux méthodes. En effet, la première concerne les courbes dont
le groupe de Mordell-Weil est fini, et la seconde celles dont l’hypothèse de la finitude du groupe
de Mordell-Weil n’est pas envisagée. Dans cette dernière situation, on applique le théorème de
Chevalley-Weil. Antérieurement, l’hypothèse de la finitude du groupe de Mordell-Weil semblait
être une contrainte ; mais on a constaté que le théorème de Chevalley-Weil permet de contourner
cette contrainte dans certains cas.
La finitude du groupe de Mordell-Weil nous a permis d’étendre les travaux de :
− Mulholland et Bruni qui décrivaient l’ensemble des points de degré 1 sur les courbes hyperel-
liptiques d’équations affines y2 = x5 +n2, avec n ∈ {4, 5, 8, 10, 12, 16, 20, 27, 36, 144, 162, 216,
400, 432, 625, 648, 1250, 1296, 5000}. Notre contribution a consisté à la détermination des
points algébriques de degré au plus d sur les mêmes courbes.
− van der Heiden, Evink et Top qui ont donné l’ensemble des points de degré 1 sur
les courbes hyperelliptiques d’équations affines y2 = x(x2 − n2)(x2 − 4n2), avec n ∈
{1, 2, 3, q un nombre premier et q ≡ 7 (mod 24)}. Notre résultat principal décrit l’ensemble
des points de degré au plus 3.
− Tzermias (resp. Sall) sur la septique de Fermat d’équation projective X7 + Y 7 + Z7 = 0
qui a décrit l’ensemble des points de degré au plus 5 (resp. au plus 10). Dans ce travail,
nous avons donné l’ensemble des points de degré au plus 14.
La seconde méthode nous a permis de déterminer l’ensemble des points de petit degré sur Q
sur les courbes d’équations affines xp + ypq = 1 avec p et q deux nombres premiers tels que
p ∈ {5, 7, 11} et q ≥ 5. | en_US |
