Application de la finitude du groupe de Mordell-Weil et du théorème de Chevalley-Weil sur la détermination des points algébriques de degré donné sur certaines courbes planes lisses

Abstract

Étant donné une courbe C plane lisse définie sur Q d’équation affine f (x, y) = 0. Nous nous sommes intéressés dans cette thèse à la détermination des points algébriques de degré donné sur C. Les résultats obtenus peuvent être vus comme une paramétrisation des points de la courbe étudiée. Les travaux reposent sur deux méthodes. En effet, la première concerne les courbes dont le groupe de Mordell-Weil est fini, et la seconde celles dont l’hypothèse de la finitude du groupe de Mordell-Weil n’est pas envisagée. Dans cette dernière situation, on applique le théorème de Chevalley-Weil. Antérieurement, l’hypothèse de la finitude du groupe de Mordell-Weil semblait être une contrainte ; mais on a constaté que le théorème de Chevalley-Weil permet de contourner cette contrainte dans certains cas. La finitude du groupe de Mordell-Weil nous a permis d’étendre les travaux de : − Mulholland et Bruni qui décrivaient l’ensemble des points de degré 1 sur les courbes hyperel- liptiques d’équations affines y2 = x5 +n2, avec n ∈ {4, 5, 8, 10, 12, 16, 20, 27, 36, 144, 162, 216, 400, 432, 625, 648, 1250, 1296, 5000}. Notre contribution a consisté à la détermination des points algébriques de degré au plus d sur les mêmes courbes. − van der Heiden, Evink et Top qui ont donné l’ensemble des points de degré 1 sur les courbes hyperelliptiques d’équations affines y2 = x(x2 − n2)(x2 − 4n2), avec n ∈ {1, 2, 3, q un nombre premier et q ≡ 7 (mod 24)}. Notre résultat principal décrit l’ensemble des points de degré au plus 3. − Tzermias (resp. Sall) sur la septique de Fermat d’équation projective X7 + Y 7 + Z7 = 0 qui a décrit l’ensemble des points de degré au plus 5 (resp. au plus 10). Dans ce travail, nous avons donné l’ensemble des points de degré au plus 14. La seconde méthode nous a permis de déterminer l’ensemble des points de petit degré sur Q sur les courbes d’équations affines xp + ypq = 1 avec p et q deux nombres premiers tels que p ∈ {5, 7, 11} et q ≥ 5.