| dc.description.abstract | Dans ce mémoire, on considère un domaine borné Ω de RN , N ≥ 4, et b, h : Ω −→ R deux
fonctions continues. Soit Γ une courbe fermée et régulière dans Ω. Il s’agit d’étudier l’existence
des solutions positives u ∈ H1
0 (Ω) de l’équation de Hardy-Sobolev perturbée :
−∆u + hu + bu1+δ = ρ−σ
Γ u2∗
σ −1 dans Ω,
o`u 2∗
σ := 2(N − σ)
N − 2 est l’exposant critique de Hardy-Sobolev, σ ∈ [0,2[ , 0 < δ < 4
N − 2 et
ρΓ : Ω −→ R est la fonction distance `a Γ. Elle est donnée par :
ρΓ (x) := inf
y∈Γ d(x,y) ∀x ∈ Ω.
Nous allons étudier la solution de l’équation en deux cas :
• le cas de l’équation de Hardy-Sobolev non perturbée ( b = 0),
−∆u + hu = ρ−σ
Γ u2∗
σ −1 dans Ω.
Trouver une solution de l’équation de Hardy-Sobolev non perturbée revient `a minimiser la
fonctionnelle suivante :
J(u) :=
∫
Ω
|∇u|2dy +
∫
Ω
hu2dy
(∫
Ω
ρ−σ
Γ |u|2∗
σ dy
)2/2∗
σ
.
Pour résoudre le problème, nous démontrons que pour toute dimension N ≥ 4, l’existence d’une
solution (ou plutôt une condition suffisante d’existence) dépend de la géométrie locale autour de
la singularité. En revanche, dans le cas o`u la dimension N = 3, c’est la géométrie globale
(particulièrement, la masse de la fonction de Green).
• Le cas de l’équation de Hardy-Sobolev perturbée ( b̸ = 0).
Trouver une solution de l’équation de Hardy-Sobolev perturbée revient `a minimiser la
fonctionnelle suivante :
J(u) := 1
2
∫
Ω
|∇u|2dy + 1
2
∫
Ω
hu2dy + 1
2 + δ
∫
Ω
bu2+δdy − 1
2∗
σ
∫
Ω
ρ−σ
Γ |u|2∗
σ dy.
Pour résoudre ce problème, nous démontrons que l’existence d’une solution dépendra uniquement
de la perturbation pour les dimensions N ≥ 4 et qu’une interaction entre la géométrie globale
dans un domaine Ω et la perturbation apparaîtra en dimension 3. | en_US |
