L’influence d'une perturbation Lp sur l'inégalité de HARDY-SOBOLEV avec singularité d'une courbe

Abstract

Dans ce mémoire, on considère un domaine borné Ω de RN , N ≥ 4, et b, h : Ω −→ R deux fonctions continues. Soit Γ une courbe fermée et régulière dans Ω. Il s’agit d’étudier l’existence des solutions positives u ∈ H1 0 (Ω) de l’équation de Hardy-Sobolev perturbée : −∆u + hu + bu1+δ = ρ−σ Γ u2∗ σ −1 dans Ω, o`u 2∗ σ := 2(N − σ) N − 2 est l’exposant critique de Hardy-Sobolev, σ ∈ [0,2[ , 0 < δ < 4 N − 2 et ρΓ : Ω −→ R est la fonction distance `a Γ. Elle est donnée par : ρΓ (x) := inf y∈Γ d(x,y) ∀x ∈ Ω. Nous allons étudier la solution de l’équation en deux cas : • le cas de l’équation de Hardy-Sobolev non perturbée ( b = 0), −∆u + hu = ρ−σ Γ u2∗ σ −1 dans Ω. Trouver une solution de l’équation de Hardy-Sobolev non perturbée revient `a minimiser la fonctionnelle suivante : J(u) := ∫ Ω |∇u|2dy + ∫ Ω hu2dy (∫ Ω ρ−σ Γ |u|2∗ σ dy )2/2∗ σ . Pour résoudre le problème, nous démontrons que pour toute dimension N ≥ 4, l’existence d’une solution (ou plutôt une condition suffisante d’existence) dépend de la géométrie locale autour de la singularité. En revanche, dans le cas o`u la dimension N = 3, c’est la géométrie globale (particulièrement, la masse de la fonction de Green). • Le cas de l’équation de Hardy-Sobolev perturbée ( b̸ = 0). Trouver une solution de l’équation de Hardy-Sobolev perturbée revient `a minimiser la fonctionnelle suivante : J(u) := 1 2 ∫ Ω |∇u|2dy + 1 2 ∫ Ω hu2dy + 1 2 + δ ∫ Ω bu2+δdy − 1 2∗ σ ∫ Ω ρ−σ Γ |u|2∗ σ dy. Pour résoudre ce problème, nous démontrons que l’existence d’une solution dépendra uniquement de la perturbation pour les dimensions N ≥ 4 et qu’une interaction entre la géométrie globale dans un domaine Ω et la perturbation apparaîtra en dimension 3.