| dc.description.abstract | Dans cette thèse, on s’intéresse à la détermination des points algébriques en
général sur certaines courbes, et en particulier à la détermination de l’ensemble
des points algébriques de degrés donnés sur Q. On remarque que certains résultats
obtenus dans ce domaine ne sont explicites que pour de petits degrés, d’où
la nécessité de les étendre ou de les compléter. Les méthodes que nous utiliserons
pour démontrer nos résultats fondamentaux reposent essentiellement sur l’idée de
la finitude du groupe de Mordell-Weil des points rationnels de la jacobienne. Dans
certains cas, on contournera cette contrainte de finitude du groupe de Mordell-Weil
en utilisant le théorème de Chevalley-Weil.
Les approches algébriques et géométriques mises en oeuvre, permettront de déterminer
de manière explicite :
– l’ensemble des points algébriques de degrés au plus 4 ou 5 sur Q sur les
courbes affines d’équations respectives y2 = x(x2+1)(x2+3) , y2 = 3x(x4+3)
et y2 = x5 − 243,
– l’ensemble des points algébriques de degrés quelconques sur Q sur les courbes
affines d’équations respectives y2 = x(x2 + 1)(x2 + 3) et y2 = 3(x5 − 1),
– l’ensemble des points algébriques de petits degrés sur Q sur la courbe affine
y2 = x5−20736 et sur la famille de courbes affines y2n = x5+1 pour n 2 N .
Concernant les courbes affines y2n = x5+1 pour n 2 N , le cas n = 1 avait été étudié
par Schaefer [12] qui avait déterminé les points algébriques de degrés au plus 2 sur
Q. Ensuite, les résultats obtenus par Schaefer ont été étendus aux points algébriques
de degrés quelconques sur Q par SALL, FALL et COLY [9]. Pour n > 1, le théorème
de Chevalley-Weil nous permettra de déterminer, dans cette thèse, l’ensemble
des points algébriques de degrés au plus 2 sur Q sur les courbes affines y2n = x5+1. | en_US |
