Théorème de Chevalley-Weil et courbes algébriques.

Abstract

Dans cette thèse, on s’intéresse à la détermination des points algébriques en général sur certaines courbes, et en particulier à la détermination de l’ensemble des points algébriques de degrés donnés sur Q. On remarque que certains résultats obtenus dans ce domaine ne sont explicites que pour de petits degrés, d’où la nécessité de les étendre ou de les compléter. Les méthodes que nous utiliserons pour démontrer nos résultats fondamentaux reposent essentiellement sur l’idée de la finitude du groupe de Mordell-Weil des points rationnels de la jacobienne. Dans certains cas, on contournera cette contrainte de finitude du groupe de Mordell-Weil en utilisant le théorème de Chevalley-Weil. Les approches algébriques et géométriques mises en oeuvre, permettront de déterminer de manière explicite : – l’ensemble des points algébriques de degrés au plus 4 ou 5 sur Q sur les courbes affines d’équations respectives y2 = x(x2+1)(x2+3) , y2 = 3x(x4+3) et y2 = x5 − 243, – l’ensemble des points algébriques de degrés quelconques sur Q sur les courbes affines d’équations respectives y2 = x(x2 + 1)(x2 + 3) et y2 = 3(x5 − 1), – l’ensemble des points algébriques de petits degrés sur Q sur la courbe affine y2 = x5−20736 et sur la famille de courbes affines y2n = x5+1 pour n 2 N . Concernant les courbes affines y2n = x5+1 pour n 2 N , le cas n = 1 avait été étudié par Schaefer [12] qui avait déterminé les points algébriques de degrés au plus 2 sur Q. Ensuite, les résultats obtenus par Schaefer ont été étendus aux points algébriques de degrés quelconques sur Q par SALL, FALL et COLY [9]. Pour n > 1, le théorème de Chevalley-Weil nous permettra de déterminer, dans cette thèse, l’ensemble des points algébriques de degrés au plus 2 sur Q sur les courbes affines y2n = x5+1.