Quasi-Monte-Carlo : un intermédiaire entre les méthodes déterministes et les méthodes Monte-Carlo.

Abstract

Dans le domaine Mathématiques le calcul analytique d’intégrations de certaines fonctions numériques est difficile voir impossible. Pour contourner cette difficulté, nous recourons à des méthodes d’approximations déterministes telles que la méthode des Rectangles, la méthode des Trapèzes , la méthode de Simpson,... Mais ces méthodes sont très lentes en dimension élevée. Pour résoudre ce problème, nous utilisons une autre méthode (aléatoire), incessible à la dimension, qui permet de trouver une valeur approximative et converge rapidement. Cette méthode est dite de Monte-Carlo. La méthode de Monte-Carlo qui utilise des suites aléatoires, est l’une des méthodes numériques les plus polyvalentes et les plus utilisées. Son taux de convergence, étant de o( √ 1 n ), est indépendant de la dimension, ce qui montre que la méthode Monte-Carlo peut être très robuste, mais aussi lente. Dans ce mémoire nous pré sentons un rappel des méthodes susmentionnées pour les problèmes d’intégration et quelques techniques de réduction de la variance relative à Monte-Carlo. Par ailleurs l’accélération de la convergence pour la méthode de Monte-Carlo est atteinte en utilisant des suites à discré pance faible qui sont une alternative déterministe à des suites aléatoires ou pseudo-aléatoires. La méthode résultante, appelée Quasi-Monte-Carlo est un intermédiaire entre les méthodes déterministes et la méthode de Monte-Carlo. La méthode Quasi-Monte-Carlo est basée sur l’idée que les techniques de Monte-Carlo aléatoires peuvent souvent être améliorées par le remplacement de la source de nombres aléatoires avec une suite déterministe distribuée plus uniformément. Son taux de convergence est de l’ordre de o( (log n) d n ), d étant la dimension. Nous présentons également cette méthode pour l’approximation d’intégrale en utilisant des suites à discrépance faible telles que : Van Der Corput, Halton, Hammersley, Sobol et Faure. Nous terminons par une comparaison de ces différentes méthodes pour comporter l’idée selon laquelle la méthode Quasi-Monte-Carlo est un intermédiaire entre les méthodes déterministes et la méthode de Monte-Carlo.