Formule de Riemann–Hurwitz

Abstract

Ce mémoire est consacré à l’étude de la formule de Riemann–Hurwitz, un résultat fondamental reliant la topologie des surfaces de Riemann au comportement des applications holomorphes entre elles. Après avoir introduit les notions de surfaces de Riemann, de revêtement et de ramification, nous établissons la formule dans le cadre classique où les surfaces sont compactes et l’application holomorphe non constante. Nous montrons comment le genre de la surface source, le degré du revêtement et les indices de ramification déterminent le genre de la surface. Le cas de la formule sur les courbes algébriques est donné et appliqué pour le calcul du genre d’une courbe algébrique. Plusieurs exemples sont présentés afin d’illustrer la portée géométrique de ce résultat.