Courbes d’Edwards et Applications

Abstract

Dans ce mémoire, nous étudions les courbes d’Edwards standards et leurs généralisations ap- pelées courbes d’Edwards tordues définies sur un corps k de caractéristique différente de 2 d’équations affines ax2 + y2 = 1 + dx2y2 où a, d ∈ k et d(d − 1)̸ = 0 . Dans un premier temps, nous avons d’une part utilisé le plongement de Segré pour désingulari- ser les courbes d’Edwards et d’autre part donné les formules de la loi de groupe de ces courbes, ensuite nous avons montré que les courbes d’Edwards sont birationnellement équivalentes aux courbes de Montgomery d’équations affines By2 = x3 +Ax2 +x où A, B ∈ k et B(A2 −4)̸ = 0 Dans un deuxième temps, nous avons présenté d’abord les formules de la loi de groupe sur les corps finis, ensuite étudié la cryptographie sur les courbes d’Edwards et enfin montrer que les algorithmes sont plus efficaces sur les courbes d’Edwards que sur les courbes elliptiques sous forme de Weierstrass d’équation affine : y2 = x3 +ax+b avec a, b ∈ k et −16(4a3 +27b2)̸ = 0.