Problème des valeurs propres de l’opérateur de Monge-Ampère complexe

Abstract

Cette thèse est consacrée à l’étude du problème des valeurs propres de l’opérateur de Monge- Ampère complexe ainsi que celui des valeurs propres de l’opérateur Hessien complexe dans un domaine bornée à bord lisse de Cn. Dans le premier chapitre, on donne les éléments de base dont on aura besoin pour les autres chapitres. Dans le deuxième chapitre, on démontre un nouveau théorème d’existence de solutions pour un cas spécial d’équations de Monge-Ampère complexes dégénérées. Pour cela, on va établir de nouvelles estimées a priori du gradient et du laplacien de telles solutions en utilisant les méthodes et les résultats de L. Caffarelli, J. J. Kohn, L. Nirenberg et J. Spruck [CKNS85] et de B. Guan [Guan98]. Dans le troisième chapitre, en suivant la stratégie de P. L. Lions [Lions86], on prouve d’une part l’existence de la première valeur propre et d’une fonction propre associée pour l’opérateur de Monge-Ampère complexe sur un domaine bornée strictement pseudoconvexe de Cn. On montre que la fonction propre est plurisousharmonique, lisse de Laplacien bornée dans Ω et de valeurs au bord nulles. De plus, elle est unique `a une constante multiplicative positive près. D’autre part, on propose une approche variationnelle pluripotentielle du problème et en utilisant le nouveau théorème d’existence, on démontre une formule de type quotient de Rayleigh pour la première valeur propre de l’opérateur de Monge-Ampère complexe. Dans le quatrième chapitre, on utilise une approche variationnelle pour prouver l’existence de la première valeur propre et d’une fonction propre associée qui est m-sousharmonique d'énergie finie pour les opérateurs Hessiens complexes généralisées sur un domaine bornée mhyperconvexe Ω de Cn associés à une mesure de Borel positive μ sur Ω. Sous certaines hypothèses supplémentaires sur la mesure de Borel positive μ, on prouve que cette fonction propre est Hölder continue. De plus, on donne des applications sur la solvabilité d’équations Hessiennes complexes dégénérées plus générales avec un second membre qui dépend de la fonction inconnue.