Estimateur de la fonction intensité du processus de Poisson non homogène par la méthode du noyau.

Abstract

Nous présenterons dans cette thèse, l’approche non paramétrique par noyaux classiques et associés pour les fonctions intensité du processus de Poisson non homogène. Nous commencerons par rappeler d’abord les notions essentielles d’estimations par noyaux continus (classiques) et noyaux associés continus. Nous donnerons la définition et les caractéristiques des estimateurs à noyaux continus (classiques). Nous rappellerons aussi les différentes techniques de choix de paramètres de lissage et nous revisiterons les problèmes de supports ainsi qu’une résolution des effets de bord dans le cas continu. Les différentes techniques de sélection de la matrice de lissage seront rappelées. Nous proposerons par la suite la forme de l’estimateur à noyau associé continu multivarié. Les propriétés statistiques de cet estimateur seront présentées, ainsi que trois méthodes classiques pour le choix de la matrice de lissage. Par ailleurs, nous présenterons l’alternative bayésienne pour le choix de la matrice de lissage. L’estimateur bayésien de H est obtenu à partir de la loi a posteriori sous la fonction de perte quadratique et entropie. Nous proposerons dans ce cadre bayésien deux approches (locale et adaptative) pour le choix de la matrice de lissage H. Ensuite, nous détaillerons la nouvelle méthode d’estimation de la fonction intensité par les noyaux associés continus, lesquels englobent les noyaux continus (classiques). Nous définirons les noyaux associés continus et nous rappellerons la méthode mode-dispersion pour leur construction puis nous illustrerons ceci sur un noyau associé non classique de la littérature à savoir le noyau Bêta. Nous examinerons par la suite les propriétés des estimateurs (le biais, la variance et les erreurs quadratiques moyennes ponctuelles et intégrées). Puis, nous proposerons un algorithme de réduction de biais que nous illustrerons sur ce même noyau associé non classique. Des études par simulations seront faites sur ce noyau et comparées avec le noyau gaussien. Par ailleurs, nous étudierons les comportements asymptotiques de cet estimateur Bêta associé continu. Nous montrerons la consistance ainsi que la normalité asymptotique.