Principe des grandes déviations pour une solution d’EDS dirigée par un mouvement Brownien fractionnaire et un processus de Lévy.

Abstract

Cette thèse s’inscrit dans le cadre d’étude et d’estimation, via le principe des grandes déviations, de comportements asymptotiques des événements rares pouvant impliquer leurs modélisations par une équation différentielle stochastique dirigée par un mouvement Brownien fractionnaire. Elle contient principalement nos résultats [14], [15] et [16] qui sont répartis dans les deuxième et troisième cha pitres. Tout d’abord nous avons présenté dans le premier chapitre quelques résultats préliminaires du principe des grandes déviations et quelques notions du mouvement Brownien fractionnaire. Ensuite les autres chapitres portent sur l’étude du comportement asymptotique de solutions des équations dif férentielles stochastiques simples, mixtes ou réfléchies dirigées au moins par le mouvement Brownien fractionnaire. Dans chacun de ces chapitres cette étude est menée en deux étapes. La première étape consiste, en supposant que le terme de dérive est nul et que le ou les coefficients de diffusion sont égaux à l’identité, à montrer le principe des grandes déviations pour le mouvement Brownien frac tionnaire, la somme d’un mouvement Brownien fractionnaire et d’un au moins des deux processus : le mouvement Brownien standard et le processus de Poisson. Ainsi sous l’indépendance de ces pro cessus, nous avons montré ce principe des grandes déviations en appliquant les formules de Girsanov de chaque processus, le théorème de Bochner-Minlos et les inégalités de Markov et de Jensen. La seconde étape est de montrer le principe des grandes déviations pour ces solutions des équations dif férentielles stochastiques simples, mixtes ou réfléchies quand le terme de dérive est différent de zéro. Pour ce faire, nous utilisons le principe de contraction dont le but est, à partir de l’étape précédente, d’exhiber des fonctions déterministes continues afin de déduire le principe des grandes déviations pour les solutions.