Produit Semi-direct d’Algèbres de H-dimodule

Abstract

Soient K un corps, H une alg`ebre de Hopf, A et B deux algèbres de H-dimodule. On note A#B le produit semi-direct de A et B : c’est le produit tensoriel A ⊗ B muni d’un produit particulier. Dans [1],Caenepeel, S., Oystaeyen, F. Van, Zhang, Yin-huo ont montré que A#B est une algèbre de H-dimodule en supposant que H est commutative et cocommutative. Dans [8], Zhang, L-yun ; Tong, Wen-ting, ont g´en´eralis´e ce resultat en remplaçant la commutativité et la cocommutativité par les conditions (20) et (21). Si l’algèbre de Hopf H est cocommutative et commutative alors les équations (20) et (21) sont satisfaites. Ils ont aussi donn´e une condition nécessaire et suffissante pour que le produit semi-direct A#B soit une bialgèbre ou une algèbre de Hopf.Ils ont donné deux exemples pour montrer la validité des conditions (20) et (21). Dans ce mémoire, notre but est de comprendre et d’expliquer les résultats de [1] et [8]