Conjectures de Weil.

Abstract

Le but de ce travail est de présenter une série de conjectures remarquables énoncées par André Weil 1 en 1949. Ces conjectures ont été formulées à partir des calculs sur le nombre de solutions de certains systèmes d’équations polynomiales. Toutefois, Weil s’est beaucoup inspiré de la fonction zêta de Riemann et de l’hypothèse de Riemann pour les deux dernières. Ainsi pour une variété projective lisse V définie sur un corps fini Fp r , les conjectures de Weil : 1. affirment que la fonction zêta Z(t) de V est une fraction rationnelle de la forme P1(t)P3(t)···P2n−1(t) P0(t)P2(t)···P2n(t) où les Pi(t) sont des polynômes à coefficients dans Z; 2. proposent une équation fonctionnelle pour Z(t); 3. affirment que les inverses des zéros des Pi(t) pour 1 ≤ i ≤ 2n−1 sont des nombres complexes dont le module est égal à √ p r ; 4. donnent certaines propriétés topologiques (en fonction des degrés des polynômes Pi(t)) de toute variété algébrique X définie sur un corps de nombres dont V serait la réduction modulo p. Par cela, André Weil a jeté les bases de tout un programme qui servira de boussole pour les fondateurs de la géométrie algébrique moderne. Précisons que ces conjectures ont toutes été démontées : Bernard Dwork a démontré la première conjecture, Alexander Grothendieck avec son équipe a prouvé la première, la deuxième et la quatrième conjecture, et enfin Pierre Deligne a démontré la troisième conjecture. Le sujet étant bien trop large pour être présenter intégralement dans un mémoire de master, nous nous concentrons essentiellement sur les trois premières conjectures dans le cas des courbes algébriques et leurs jacobiennes. Pour cela nous allons commencer par recenser un bon nombre de résultats de théorie des corps, de théorie de Galois et de géométrie algébrique liés à ce sujet.