Le spectre du Laplacien de l’opérateur ¯∂-Neumann sur l’espace de Fock

Abstract

Dans ce travail, l’objectif est de détailler les travaux de F.Haslinger qui consistent à déterminer le spectre du Laplacien de l’opérateur ¯∂-Neumann sur l’espace de Fock L 2 (C n , e−φ ) avec φ(z) = |z| 2 . Pour se faire, nous avons dans un premier temps calculé le spectre du Laplacien de l’opérateur ¯∂-Neumann □φ,0 et celui de □φ,1 pour φ(z) = |z| 2 dans le cas unidimensionnel. Puis dans le cas multidimensionnel, nous calculons le spetre du Laplacien de l’opérateur ¯∂-Neumann □φ,q pour φ(z) = |z1| 2 + · · · + |zn| 2 . Ensuite nous montrons que le Laplacien complexe de Witten noté ∆ (0,q) φ a le même spectre que le Laplacien de l’opérateur ¯∂-Neumann □φ,q. Enfin, nous donnons quelques applications sur la compactification du ¯∂-Neumann Nφ,q en utilisant : • les valeurs propres de la matrice de Lévi. • la théorie spectral sur les opérateurs de Schrödinger dans la mécanique quantique.