Morphisme de modules de Hopf relatifs, produit semi-direct et dualité.

Abstract

Soient H une alg`ebre de Hopf projective d’antipode bijective SH sur un anneau commutatif K et A une alg`ebre de H−comodule `a droite. Notre m´emoire porte sur l’extension du r´esultat de H.J. Schneider sur les anneaux d’en domorphisme des modules de Hopf relatifs [9, Th´eor`eme 3.2] au cas des alg`ebres de Hopf projectives d’antipode bijective et la connexion entre cette extension et plusieurs th´eor`emes de dualit´e d’alg`ebres de Hopf. Ce qui a ´et´e mis au point ici est que le th´eor`eme de H.J. Schneider peut ˆetre pratiquement trouv´e dans tous les th´eor`emes de dualit´e d’alg`ebres de Hopf. Il a ´et´e montr´e dans [4] que deux r´esultats de Ulbrich (qui se combinent pour donner les th´eor`emes de dualit´e pour les alg`ebres de Hopf de dimension finie), sont des cas particuliers du th´eor`eme de H.J. Schneider. Dans cette ´etude, une nouvelle version du th´eor`eme de Schneider pour une alg`ebre de Hopf de dimension infinie a ´et´e donn´ee.