Projectivité des modules relatifs de Hopf sur le sous-anneau des coinvariants

Abstract

Soient K un anneau commutatif, H une algèbre de Hopf d’antipode SH bijective et A une al- gèbre de H -comodule à droite. Ce mémoire qui est un résultat de l’article S. Caenepeel et T. Gué- dénon porte sur l’étude de la projectivité des modules relatifs de Hopf sur le sous-anneau des H -coinvariants de A, et la semi-simplicité de la catégorie des modules relatifs de Hopf. L’objectif principal de ce travail est d’étudier les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un objet de la catégorie A M H soit projectif en tant que B-module, où B = AcoH . Pour ce faire, nous in- troduisons la notion d’exactitude d’un foncteur covariant ainsi, que celle d’épimorphisme scindé. En utilisant l’existence d’un élément d’intégrale total ϕ : H −→ A, on peut montrer qu’un module de Hopf relatif est projectif comme B-module. Pour finir, nous étudierons une condition suffisante pour que la catégorie A M H soit semi-simple, ce qui revient à exiger que tout sous-objet de cette catégorie soit projectif.